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By Otto Forster

Der zweite Band beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei der Darstellung wird die Theorie durch viele konkrete Beispiele erläutert, insbesondere solche, die für die Physik correct sind.

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Bδ(xk )/2 (xk ) = X . Wir setzen δ := min(δ(x1 )/2, . , δ(xk )/2). Sind jetzt x, x ∈ X zwei beliebige Punkte mit x, x {1, . , k} mit x ∈ Bδ(x j )/2 (x j ), < δ, so gibt es ein j ∈ und deshalb x ∈ Bδ(x j ) (x j ). d. Bemerkung. Der Satz, dass jede stetige Funktion f : I → R auf einem kompakten Intervall I ⊂ R gleichm¨aßig stetig ist (An. 1, § 11, Satz 4), ist ein Spezialfall von Satz 9. 1. Man zeige, dass die Vereinigung von endlich vielen kompakten Teilmengen eines metrischen Raumes wieder kompakt ist.

2). Man beachte jedoch, dass f¨ur eine beliebige Funktion zweier Ver¨anderlichen die Niveaumengen keine “Linien” im anschaulichen Sinn zu sein brauchen. Wir werden auf diese Frage noch einmal in § 8 zur¨uckkommen. Definition (Partielle Ableitung). Sei U ⊂ Rn eine offene Teilmenge und f : U −→ R I. 1 eine reelle Funktion. f heißt im Punkt x ∈ U partiell differenzierbar in der i-ten Koordinatenrichtung, falls der Limes Di f (x) := lim h→0 f (x + hei ) − f (x) h existiert. Dabei ist ei ∈ Rn der i-te Einheitsvektor, ei = (0, .

Dann ist die zusammengesetzte Abbildung g := f ◦ ϕ : [α, β] −→ Rn wieder eine Kurve im Rn . Man sagt, dass die Kurve g aus der Kurve f durch die Parametertransformation ϕ hervorgeht. Sind sowohl ϕ als auch ϕ−1 : [a, b] → [α, β] stetig differenzierbar, so nennt man ϕ eine C 1 -Parametertransformation. Allg. verschieden durchlaufen. Da ϕ : [α, β] → [a, b] stetig und bijektiv ist, tritt genau einer der beiden folgenden F¨alle auf: 1) ϕ ist auf [α, β] streng monoton wachsend. Man nennt die Parametertransformation dann orientierungstreu.

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